Vecteurs orthogonaux

Définition

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan et \(\text A,\text B,\text C\) trois points tels que \(\vec{u}=\vec{\text A\text B}\) et   \(\vec{v}=\vec{\text A\text C}\) . 
On dit que les vecteurs  \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si les droites \((\text A\text B)\) et \((\text A\text C)\) sont perpendiculaires.

Remarque

Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur.

Propriété

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan sont orthogonaux si et seulement si  \(\vec{u} \cdot \vec{v}=0.\)

Démonstration

Si l'un des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est nul, l'équivalence est évidente.
Supposons maintenant   \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) tous deux non nuls. Soit \(\text A,\text B,\text C\) trois points tels que  \(\vec{u}=\vec{\text A\text B}\) et   \(\vec{v}=\vec{\text A\text C}\) . Dire que leur produit scalaire est nul équivaut à dire que \(\text A\text B\times \text A\text C\times \cos(\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})=0\) . Comme \(\text A\ne \text B\) et \(\text A\ne \text C\) (sinon l'un des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) serait nul), le produit est nul si et seulement si \(\cos(\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})=0\) , soit lorsque l'angle orienté \((\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})\) est droit et les droites \((\text{AB})\) et \((\text{AC})\) sont perpendiculaires.